教学研究：函数的导数
函数的导数是函数给定点的变化率。这事理解起来确实有点抽象，但是请耐心阅读下去。试想象在一条直线上，假如某物体有一定的速度在运行，这是相当简单的问题，起初这条直线是水平的，现在假如直线右端向下倾斜一定角度，那么在日常环境下，物体的运行速度会增加。通过这不是那么严谨的想象，我们可以在感性认识层面感觉一下“函数的导数”。在上面简单的“想象”中，"倾斜一定角度"是“斜率”的一种日常语言表达，而仅仅是斜率，增加了运行。换句话说，导数是直线的斜率。但对于一个更一般的函数，斜率是每一个点的变化率。例如：f(x)=x2，基本的抛物线的形状像一碗，很明显，只要看着它，就能知道斜率在不同点（不同的x）是不同的。
根据微积分的求微法则，x2的微分是2x。好吧,如果你想知道点(1,1)的坡(变化率),就把x = 1代入到2x:，那么抛物线x2的点（1,1）的坡是2。如果你想知道边点(3，9)的坡,就代入x = 3在2x，得到斜率为2×3 = 6。这个是相对容易的。
图示：函数导数的动态变化图
现在,如果你认为在函数的每一个点上，斜率都是变化着的；函数的每一个点上的导数都是变化着的。你错了,这是一个常见的误解。导数和斜率不是同一个东西，它给你一个指定的斜坡的x值。你发现，一个函数的导数是这个函数的本身，这个函数不会根据输入的值做成改变。例如：f(x)= x2，导数是f′(x)= 2x。那么导数是总是将函数2x代入具体的值，,无论是x = 1,或2,或5000。但由于代入的函数值x，我们可以说，速度的改变，随着x值的取值改变在改变。再讲一次，导数是一个函数的变化率，即斜率。
这里制作了一个函数导数的动态变化图，正如你所看到的图示，给出了函数本身、导函数。对于同一个函数，斜率随着x值的改变而改变。现在这个函数并不是我们一般讨论的简单抛物线，但是我们可以看到，即使在一个复杂的函数中，我们仍然可以清楚地看到斜率随着x的变化而如何变化。在图示中，绿色代表这个点的导数是正的，红色代表此点导数是负数，黑色表示导数为零。
