AP微积分辅导

吴文忠:极限(Limit)发展的前世今生[教学研究]

Feb 26, 2015  From:Original  Author:吴文忠
极限是微积分学的核心概念之一,极限理论的完善得益于19世纪法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯的卓越工作。

极限(Limit)是微积分学的核心概念之一,极限理论(Theory of limit)最终地完善得益于19世纪法国数学家Cauchy(柯西)和德国数学家Weierstrass(魏尔斯特拉斯)的卓越工作。

今天,我们能相对“容易地”理解微积分,也是因为我们站在Cauchy等“巨人”肩膀上学习微积分,真心感谢他们对数学的贡献。

向前追溯两千年 · 萌芽

极限思想的萌芽以古希腊的Archimedes(阿基米德),中国的惠施、刘徽、祖冲之等为代表。

公元前5世纪,古希腊数学家Antiphon(安蒂丰)提出了“穷竭法”;之后,古希腊数学家Eudoxus(欧多克斯)进一步完善,使其成为一种合格的几何方法;再过100多年,Archimedes(阿基米德)做了进一步发展,在其著作《论球和圆柱》,已经运用了“穷竭法”建立命题:只要边数足够多,圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小。

在中国,根据《庄子•天下篇》记载,春秋战国时代的名家学派创始人惠施提出“一尺之锤,日取其半,万世不竭”,意思是说,“一尺的东西今天取其一半,明天取其一半的一半,后天再取其一半的一半的一半,总有一半留下,所以永远也取不尽”,形象表达了数列极限(Limit of a sequence)的概念。

到了魏晋南北朝,数学家刘徽和祖冲之,为计算圆周率π,采用了“割圆术”,即,用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积,继而以此求取圆周率π。 , 则是应用了极限的思想。

极限思想的大发展大致是在16、17世纪。在这一阶段,真正意义上的极限得以产生。达朗贝尔定性地给出了极限的定义,并将它作为微积分的基础;欧拉提出了关于无穷小的不同阶零的理论;拉格朗日也承认微积分可以在极限理论的基础上建立起来。从这时期开始,极限和微积分开始形成密不可分的关系,并且最终成为微积分的直接基础。尽管极限概念被明确提出,但是它仍然过于直观,与数学追求的严密的原则相抵触。

19世纪,严格化分析的倡导者有德国数学家高斯、捷克数学家波尔查诺、法国数学家柯西、挪威数学家阿贝尔、德国数学家狄里克雷等等。1812年,高斯对一类具体级数——超几何级数,进行了严密研究,这是历史上第一项有关级数收敛性的重要工作。1817年,波尔查诺首先抛弃无穷小量的概念,用极限概念给出了导数和连续性的定义,并且得到了判别级数收敛的一般准则——柯西准则。但是由于他的工作被长期埋没,对当时数学的发展没有产生影响,成为数学史上一件遗憾事。

柯西是对分析严格化影响最大的学者,1821年他发表了《分析教程》,除了独立得到波尔查诺之前证明的基本结果,还用极限概念定义了连续函数的定积分,这是建立分析严格化理论的第一部重要著作。柯西以极限为基础,定义无穷小和微积分学中的基本概念,建立了级数收敛性的一般理论。但是,必须注意的是,柯西的分析理论基本上是基于几何直观的,按照现代标准衡量,还是不够严密的,阿贝尔一直强调分析中定理的严格证明,在1826年,阿贝尔最早正确证明了“连续函数为项的一个一致收敛级数的和,在收敛域内是连续的”,可惜阿贝尔当时没有能从中把一致收敛的性质抽象出来,形成普遍的概念。

极限概念【魏尔斯特拉斯】
极限概念【魏尔斯特拉斯】

在这些数学家的工作的基础上,魏尔斯特拉斯定量地给出了极限思想的定义,即现在通用的ε-δ的极限、连续定义,并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上,从而克服了数学发展过程中的危机和矛盾。基于魏尔斯特拉斯在分析严格化方面的贡献,在数学史上,魏尔斯特拉斯获得了“现代分析分析之父”的称号。

参考文献 References

[1] Gagarin M . Antiphon the Athenian[J]. 2002.
[2] 刘云章 赵东金.微积分初步:无限和变化的乐园.北京:中国大百科全书出版社,2005年7月
[3] 欧拉. 无穷分析引论[M]. 张延伦 译. 山西教育出版社,1997