吴文忠：极限（Limit）发展的前世今生[教学研究]
极限（Limit）是微积分学的核心概念之一，极限理论（Theory of Limit）最终的完善得益于19世纪法国数学家柯西（Cauchy）和德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass）等的卓越工作。
今天，我们能相对“容易地”理解微积分，也得益于我们站在Cauchy等“巨人”肩膀上学习微积分，真心感谢他们对数学的贡献。
向前追溯到两千五百年
极限思想的萌芽阶段，我们不得不提到古希腊的阿基米德（Archimedes），中国的惠施（Hui Shi）、刘徽（Liu Hui）、祖冲之（Tsu Chung-Chi）等数学家。
公元前5世纪，距离我们今天站立的时代，大约2500年，古希腊数学家安蒂丰（Antiphon）提出了“穷竭法”（Method of Exhaustion）。
之后，古希腊数学家欧多克斯（Eudoxus）进一步完善“穷竭法”，使其成为一种合格的几何方法；再过100多年，阿基米德（Archimedes）做了进一步发展，其著作《论球和圆柱》运用“穷竭法”建立命题：
只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小。
以现代数学来看，阿基米德（Archimedes）建立的命题饱含“极限思想”，用无限逼近的方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，已经十分贴近于现代对于极限的认识。
很可惜的是，古希腊人对数学公理化、机械化的追求，以致于对“无限”似乎抱有“恐惧”，极力避免明显地人为地“取极限”，转而用“归谬法”（Reduction to Absurdity）实现相关证明，搁置“极限”，极限理论（Theory of Limit）发展止步不前。
差不多一个时代，阿基米德（Archimedes）在浴缸里不好好享受热水澡SPA，捣鼓着“浮力定律”时，距离爱琴海岸10000多公里外的神秘东方古国 — 中国（China），正处于春秋战国时代的社会大变革风暴中，各种思想激烈碰撞，群星闪烁，百家争鸣，其中名家学派创始人惠施是发展“极限思想”一颗闪耀的明星。
惠施（Hui Shi）提出“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，暗合“极限思想”的大奥义。
“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，意思是说，“一尺的东西今天取其一半，明天取其一半的一半，后天再取其一半的一半的一半，总有一半留下，所以永远也取之不尽”，以现代数学来看，这是数列极限（Limit of a Sequence）概念的形象表达。
又过了大约500年，到了魏晋南北朝，数学家刘徽（Liu Hui）和祖冲之（Tsu Chung-Chi），把“极限应用”推至新高度。
刘徽为计算圆周率π，以极限思想为指导，提出了“割圆术”（Cyclotomic Method），即，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，继而以此求取圆周率π。 祖冲之（Tsu Chung-Chi）在刘徽的“割圆术”基础上，进一步获得了约率π≈22/7及密率π≈355/113，圆周率π计算上，祖冲之应用“极限”（Limit）的成果领先了西方数学1000余年之久。 数
学分析（Mathematical Analysis）出现之前，割圆术在圆周率计算史上长期被使用，使用三角函数（Trigonometric Function）表述，即为： π≈cos(90°-(180°)/n)*n
当n越大时，cos(90°-(180°)/n)*n越接近于π，写成极限的形式，可得：
π=lim┬(n⟶∞)〖cos(90°-(180°)/n)*n〗
细细把玩，古希腊的“穷竭法”（Method of Exhaustion）和古中国的“割圆术”（Cyclotomic Method），向前追溯2500余年，我惊奇于中西方数学以各自的轨迹的萌芽极限又那般不谋而合，用各自美妙的姿势展现了“极限思想”。
我也不禁发问，中西方数学都发端“极限思想”，为什么没有生长出“极限理论”就戛然而止？
或许，中国古代数学没有形成严密的逻辑演绎体系，极限理论缺乏发展的沃土，“割圆术”止步于“具体的应用（求圆周率）”；另一方面，爱琴海岸的暖风依旧，阿基米德（Archimedes）伟大的头颅却早已被罗马士兵砍下，公元3世纪末，亚历山大图书馆被战火吞没，公元5世纪末，欧洲文明陷落到了漫长而黑暗的中世纪，极限理论也停滞发展。
朝代更替，春去冬来，月球上的“祖冲之环形山”孤独的守护着地球，期待重现“极限理论”发展的曙光… …
我来了，因为你在这里等着我
月球上的“祖冲之环形山”又围着地球孤独绕行了12000余圏，到了公元十 四世纪，沉寂千年的欧洲，掀起了文艺复兴（Renaissance）思潮，但丁（Dante）、薄伽丘（Boccaccio）、达·芬 奇（Da Vinci）、莎士比亚（Shakespeare）等一大批时代巨匠带领人们逐渐冲破“神学”的思想禁锢。
与此同时，麦哲伦（Magellan）及哥伦布（Columbus）等大航海家带着对财富的原始冲动对全世界实现了地理大发现（Age of Exploration）。
当莎翁笔下的朱丽叶拔剑倒在罗密欧的血泊时，哥伦布已经踏上印第安人世代生活的土地，古希腊、古印度和古中国等文明积累下来的初等数学（Elementary Mathematics）也逐渐不能满足时代的需要，数学朝着更高的阶段开始准备着。
欧洲文艺复兴和地理大发现时期，大致处于明清时期的中国，由于理学盛行和八股取士等原因，数学发展缓慢，致使古中国与微积分（Calculus）和极限理论的发展失之交臂。
大致经过300多年，到了公元十七世纪，一方面，许多科学问题被积攒着并亟待需要解决；另一方面，得益于费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes）、开普勒（Kepler）、卡瓦列利（Cavalieri）、巴罗（Barrow）等众多数学家的大量积累，英国数学家牛顿（Newton）及德国数学家莱布尼茨（Leibniz）分别创立了微积分。
微积分（Calculus）的出现不止使得数学空前繁荣，甚至超出数学本身，在物理、化学、生物学、航海、天文学、机械制造、工程学、军事等众多方面展开大范围应用，并取得巨大的成就。
然而，牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）创立的微积分都缺乏严谨的逻辑基础，人类迎来数学更高的阶段，伴随而来还有一个“已死量的幽灵”，这个“幽灵”审查微积分的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理，导致“第二次数学危机”发生。
接下来，不到100年时间，十八世纪六十年代，第一次工业革命（The First Industrial Revolution）发生，以蒸汽机广泛使用为标志，人类迎来技术发展史上巨大的革命。此背景下，无论就数学自身而言，还是整个人类技术发展需要，都要求微积分严谨化，此时，微积分等待着极限理论的到来。
十八世纪
公元十八世纪，一批数学家做出了卓有成效的贡献，使得极限和微积分开始形成密不可分的关系，其中包括：达朗贝尔（D'Alembert），欧拉（Euler）、拉格朗日（Lagrange）等。
期间，达朗贝尔（D'Alembert）定性地给出了极限的定义：“一个变量趋于一个固定量，趋于程度小于任何给定量，且变量永远达不到固定量” 。 除此之外，运用极限思想给出了判定级数（Series）敛散性的达朗贝尔判别法（D'Alembert's Test）： 级数∑_(n=1)^∞▒a_n 是正项级数，假设lim┬(n⟶∞)|a_(n+1)/a_n |=ρ，结论：① 当ρ<1，级数收敛；② 当ρ>1，级数发散；③ 当ρ=1，级数可能收敛也可能发散。
现代数学中，达朗贝尔判别法（D'Alembert's Test）仍然是级数敛散性判定的重要方法。
期间，欧拉（Euler）极大地推进了微积分涉及到函数和求法，而事实上，牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）只涉及到少量函数及求法。在极限理论发展上，欧拉（Euler）提出了关于无穷小量的不同阶零的理论。
期间，拉格朗日（Lagrange）迷上并专攻数学分析，是数学分析仅次于欧拉的最大开拓者。虽然拉格朗日回避极限概念，但他也承认微分法可以在极限理论的基础上建立起来。
在这一阶段，真正意义上的极限定义得以产生，虽然它仍然过于直观，与数学追求的严密原则相抵触。
十九世纪
公元十九世纪，一个严格精神高度发扬的时代，随着数学分析的发展，极限理论最终为微积分注入严密性。在此期间，波尔查诺（Bolzano）、柯西（Cauchy）、阿贝尔（Abel）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）等数学家为极限理论的最终创立做出了杰出的贡献。
最先是，捷克数学家波尔查诺（Bolzano）抛弃无穷小量的概念，运用极限的概念定义导数和连续性，并且获得了判别级数收敛的一般准则 — — 柯西准则（Cauchy's Convergence Test）。然而，令人遗憾的是，波尔查诺的工作被长期埋没，没有对当时数学的发展产生影响。
紧接着，法国数学家柯西（Cauchy）发表《分析教程》，独立得到波尔查诺之前证明的基本结论，并以极限为基础，定义无穷小量和微积分学中的基本概念，建立了级数收敛性的一般理论，成为对分析严格化影响最大的数学家。
按照现代标准衡量，柯西的分析理论大多基于几何直观，严密性仍然不够。不过，柯西与一位当时被柯西忽视的青年数学家 — — 挪威数学家阿贝尔（Abel），极大地推动了数学分析的严格化潮流。
其后，德国数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass）给出了魏尔斯特拉斯函数（Weierstrass Function），一个由无穷级数定义的函数，直观地想象它，是一条连续的锯齿状折线，但锯齿的大小无限地小。
当时，魏尔斯特拉斯函数，否定了数学家认为 “除少数特殊点，连续函数处处可导” 的观点。随后，狄利克雷函数（Dirichlet Function）、黎曼函数（Riemann Function）和赫维赛德函数（Heaviside Function）等病态函数的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠。
最后，魏尔斯特拉斯在前面数学家工作的基础上，定量地给出了极限定义，就是现代通用的“ε-δ定义”： ∀ε>0,∃δ>0，s.t. 0<|x-x_0 |<δ，有|f(x)-A|<ε，记为：lim┬(x⟶x_0 )f(x)=A
魏尔斯特拉斯以极限理论为基础严格建立微积分，系统创立实分析和复分析，基本上实现了分析的算术化，克服了数学发展过程中的危机和矛盾，被尊为“现代分析之父”。
而这，严格化的微积分也为20世纪数学的发展奠定了基础。
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