AP微积分,AP Calculus

吴文忠：阶乘函数和指数函数类型的极限求解一枚

极限求解是微积分中再常见不过的了，尽管如此，这并不意味着极限求解的数学问题就一定是简单的，也许这正是数学的魅力，我们可以“屌丝的逆袭”般的绝地反击，享受那虐爆“数学”的快感，尽管在上一秒还在被它“虐了千百遍”。

今天，有一位同学拿了这样一道问题来问我，尽管我俩相隔万里重洋，他在美国中东部的肯塔基州，但是从字里行间，我似乎也感同身受他被“虐了千百遍”的心情，他说，被这道题搞得把这两天的夏威夷出行计划都取消了。又一名数学爱好者！

题目：求解，

同学问我说：“吴老师，我试图通过洛必达法则去求解，忙了一通之后… …”，“吴老师，泰勒级数，麦克劳伦公式中带有阶乘，试了… …”，“吴老师，我知道关键在这个阶乘函数上… …”我们的讨论其实两个人都感到有趣，因为数学，我们成为了好朋友！

下面贴出这道题的分析和求解。

分析：这是一个求解极限的题，阶乘函数是本题的一个特点，如果不是因为这个阶乘函数，这个题很有可能使用L’Hopital’s Rule得到求解，那么阶乘函数就是突破口，为了通过这个突破口，我们需要借助沃利斯（Wallis）公式和斯特林（Stirling）公式：

首先：我们需要得到，

证明：由，有
设x∈(0,π/2)，由定积分保号性有不等式：，也就是

即： ---（1）式
令---（2）式
将（2）式变形为，同时，我们知道，由夹逼定理有：
或者
同理（2）式可以变形为：，已知，，由夹逼定理得：

于是得到沃利斯（Wallis）公式， ，它为我们导出斯特林（Stirling）公式奠定了基础。

其次，在沃利斯（Wallis）公式的基础上，我需要得到：
证明如下：令，那么有，

所以，，又由积分放缩法有：
即：，那么由单调有界定理得 的极限存在。

假设，，利用沃利斯（Wallis）公式，有

所以，，那么，（斯特林公式）

斯特林公式在用来取得n阶乘的近似值，在概率论上也有应用，到此，我们顺利得通过原来题目的突破口，得到，

到此，此题得解。

最后，“后一项除以前一项的极限小于1极限为零，大于1极限为无穷大，此题为大于1的情形”。