极限发展的前世今生

2015-02-26 15:31:37 来源:AP微积分网 作者:91数学网

摘要: 极限是微积分学的核心概念之一,极限理论的完善得益于19世纪法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯的卓越工作。

极限是微积分学的核心概念之一,极限理论的完善得益于19世纪法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯的卓越工作。但是,极限的观念、思想最早可以追溯到2000多年前。

极限思想的萌芽阶段以希腊的芝诺,中国的惠施、刘徽、祖冲之等为代表。公元前5世纪,古希腊数学家安提峰就提出了“穷竭法”,之后古希腊数学家欧多克斯做了补充和进一步完善,成为一种合格的几何方法,用来求圆形的面积和立体的体积。而在中国,最早见于《庄子•天下篇》的记载,春秋战国时代的学者惠施提出了“一尺之锤,日取其半,万世不竭”的收敛数列的概念。刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”则是应用了极限的思想。

极限思想的大发展大致是在16、17世纪。在这一阶段,真正意义上的极限得以产生。达朗贝尔定性地给出了极限的定义,并将它作为微积分的基础;欧拉提出了关于无穷小的不同阶零的理论;拉格朗日也承认微积分可以在极限理论的基础上建立起来。从这时期开始,极限和微积分开始形成密不可分的关系,并且最终成为微积分的直接基础。尽管极限概念被明确提出,但是它仍然过于直观,与数学追求的严密的原则相抵触。

19世纪,严格化分析的倡导者有德国数学家高斯、捷克数学家波尔查诺、法国数学家柯西、挪威数学家阿贝尔、德国数学家狄里克雷等等。1812年,高斯对一类具体级数——超几何级数,进行了严密研究,这是历史上第一项有关级数收敛性的重要工作。1817年,波尔查诺首先抛弃无穷小量的概念,用极限概念给出了导数和连续性的定义,并且得到了判别级数收敛的一般准则——柯西准则。但是由于他的工作被长期埋没,对当时数学的发展没有产生影响,成为数学史上一件遗憾事。

柯西是对分析严格化影响最大的学者,1821年他发表了《分析教程》,除了独立得到波尔查诺之前证明的基本结果,还用极限概念定义了连续函数的定积分,这是建立分析严格化理论的第一部重要著作。柯西以极限为基础,定义无穷小和微积分学中的基本概念,建立了级数收敛性的一般理论。但是,必须注意的是,柯西的分析理论基本上是基于几何直观的,按照现代标准衡量,还是不够严密的,阿贝尔一直强调分析中定理的严格证明,在1826年,阿贝尔最早正确证明了“连续函数为项的一个一致收敛级数的和,在收敛域内是连续的”,可惜阿贝尔当时没有能从中把一致收敛的性质抽象出来,形成普遍的概念。

极限概念【魏尔斯特拉斯】极限概念【魏尔斯特拉斯】

在这些数学家的工作的基础上,魏尔斯特拉斯定量地给出了极限思想的定义,即现在通用的ε-δ的极限、连续定义,并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上,从而克服了数学发展过程中的危机和矛盾。基于魏尔斯特拉斯在分析严格化方面的贡献,在数学史上,魏尔斯特拉斯获得了“现代分析分析之父”的称号。

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