阶乘函数和指数函数类型的极限求解一枚

2014-07-28 20:12:11 来源:本站原创 作者:吴老师

摘要: 探讨了含有阶乘函数和指数函数的极限的求解,稍微超出了AP微积分考试的范围,仅供学有余力的同学参考。

极限求解是微积分中再常见不过的了,尽管如此,这并不意味着极限求解的数学问题就一定是简单的,但是,也许这正是数学的魅力,我们凭借“屌丝的逆袭”般的绝地反击,享受那虐爆“数学”的快感,尽管在上一秒还在被它“虐了千百遍”。

今天,有一位同学拿了这样一道问题来问我,尽管我俩相隔万里重洋,他在美国中东部的肯塔基州,但是从字里行间,我似乎也感同身受他被“虐了千百遍”的心情,他说,被这道题搞得把这两天的夏威夷出行计划都取消了。又一名数学爱好者!

题目:求解,含有阶乘和指数函数的极限

同学问我说:“吴老师,我试图通过洛必达法则去求解,忙了一通之后… …”,“吴老师,泰勒级数,麦克劳伦公式中带有阶乘,试了… …”,“吴老师,我知道关键在这个阶乘函数上… …”我们的讨论其实两个人都感到有趣,因为数学,我们成为了好朋友!

下面贴出这道题的分析和求解。

分析:这是一个求解极限的题,阶乘函数是本题的一个特点,如果不是因为这个阶乘函数,这个题很有可能使用L’Hopital’s Rule得到求解,那么阶乘函数就是突破口,为了通过这个突破口,我们需要借助沃利斯(Wallis)公式和斯特林(Stirling)公式:

首先:我们需要得到,沃利斯公式

证明:由sinx的n次幂在[0,π/2]上的定积分,有三个双阶乘的推论
设x∈(0,π/2),由定积分保号性有不等式:三个sinx函数高次幂的定积分,也就是
得到的双阶乘函数不等式(1)
即: 得到双阶乘函数不等式(2)---(1)式
导出沃利斯公式的(2)式---(2)式
将(2)式变形为双阶乘级数的变形不等式(1),同时,我们知道2k+1比2k的无穷极限,由夹逼定理有:
沃利斯公式的左边极限或者沃利斯公式的左边形式
同理(2)式可以变形为:双阶乘级数的变形不等式(2),已知,2k+1比2k的无穷极限,由夹逼定理得:
沃利斯公式的右边极限

于是得到沃利斯(Wallis)公式,沃利斯公式 ,它为我们导出斯特林(Stirling)公式奠定了基础。

其次,在沃利斯(Wallis)公式的基础上,我需要得到:斯特林公式
证明如下:令导出斯特林公式的通项,那么有,
斯特林公式通项的比值法
所以,斯特林公式通项比值的结果,又由积分放缩法有:积分放缩法得到的不等式
即:不等式得到的结果,那么由单调有界定理得 的极限存在。

假设,斯特林公式的原假设,利用沃利斯(Wallis)公式沃利斯公式,有
使用沃利斯公式推导斯特林公式
所以,斯特林公式的简写,那么,斯特林公式(斯特林公式)

斯特林公式在用来取得n阶乘的近似值,在概率论上也有应用,到此,我们顺利得通过原来题目的突破口,得到,
使用斯特林公式求解含有阶乘和指数函数的极限
到此,此题得解。

最后,感谢五邑大学数学学院邹祥福教授为本题的解决提供了方向,邹祥福教授指出,“后一项除以前一项的极限小于1极限为零,大于1极限为无穷大,此题为大于1的情形”。在此感谢邹祥福教授的支持。

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